Skip to main content

basis integraalrekening

inleiding integraalrekening

Inleiding

Als we de oppervlakte onder een curve willen berekenen in een interval [a,b], moeten we terugvallen op gekende begrippen.

We kunnen allemaal de oppervlakte van een rechthoek berekenen. Dit vormt ons uitgangspunt om de oppervlakte onder een curve te berekenen.

 

Scilinder= basis * hoogte

 

Wat willen we eigenlijk berekenen ?

De gearceerde oppervlakte S willen we kennen !

 

 

Voorbeeld

Bereken de oppervlakte onder de curve y = x²  in het interval [0,3]

stap 1 : we delen [0,3] op in gelijke deelintervallen, bv 3 deelintervallen met lengte h = 1

stap 2 : we kiezen in elk deelinterval de hoogste (of laagste) functiewaarde : Mi (mi)

stap 3 : we construeren rechthoeken met lengte 1 en breedte Mi (mi) ; we berekenen de opp. van de rechthoeken

stap 4 : we tellen de bekomen oppervlaktes op ; men noemt deze benadering de bovensom (ondersom)

S3= 1 * 1 + 1 * 2² + 1 * 3² = 14

s3 = 1 * 0 + 1 * 1 + 1 * 2² = 5

Onderstaande figuur geeft deze benadering duidelijk weer !

 

Als we het aantal intervallen vergroten, krijgen we een betere benadering van de oppervlakte.

Je kan het zelf eens proberen in onderstaand geogebra bestand.

Je kan de functie veranderen door in de invoerbalk een ander voorschrift in te geven ( f(x) = ...).

 

We kunnen dit veralgemenen en de oppervlakte onder de functie y = x² berekenen in het interval [0,b]

We berekenen de bovensom in het interval [0,b]; we kiezen n intervallen; de lengte van 1 interval is h = (b-0)/n = b/n

 

 

Als we nu n naar oneindig laten evolueren, kunnen we de exacte oppervlakte berekenen.

 

Als we dus de oppervlakte willen berekenen onder de functie x² in [0,3], blijkt dat S = 3³/3 = 9

 

opmerking !

Aangezien we het aantal intervallen naar oneindig laten evolueren, zullen de benaderingen via de bovensom en de ondersom dezelfde uitkomst opleveren.

Dit doet ons even nadenken. Werken via de bovensom of ondersom heeft ook zijn nadelen. Je moet telkens de hoogste of laagste functiewaarde in een deelinterval zoeken. Maar aangezien de intervallen steeds kleiner worden, komen deze dichter en dichter bij elkaar te liggen. We kunnen dus evengoed een willekeurige functiewaarde kiezen in elk deelinterval !

besluit :

 

 

Georiënteerde oppervlakte

Stap 1 : deel het interval [a,b] op in gelijke deelintervallen met lengte h = (b-a)/n = delta x

Stap 2 : kies in elk interval een functiewaarde f(xi) ; bereken de oppervlakte in één deelinterval

Stap 3 : als we de oppervlakte in alle deelintervallen samentellen, krijgen we een benadering van de oppervlakte

Stap 4 : als we de exacte oppervlakte willen kennen, moeten we het aantal deelintervallen vergroten, dwz delta x naar nul laten evolueren (of het aantal intervallen naar oneindig)

 

 

Definitie bepaalde integraal :

 

 

Deze georiënteerde oppervlakte noemen we de bepaalde integraal van f(x) in [a,b].

De bepaalde integraal is dus geen werkelijke oppervlakte aangezien f(x) ook negatief kan zijn. 

De bepaalde integraal kan dus ook negatief of zelfs nul zijn !!!

 

 

 

Created by ML