definitie afgeleide

Afgeleide functie

Inleiding

Voor de afgelegde weg (in m) geldt s(t) = 1,2t² waarin t de tijd in seconden is.

Bepaal de gemiddelde snelheid (m/s) in het interval [0,4] en [0,10].

Gemiddelde snelheid [0,4] =  (s(4)-s(0))/(4-0) = (19.2-0)/(4-0)= 4.8 m/s  

Gemiddelde snelheid [0,10] = (s(10)-s(0))/(10-0)= (120-0)/(10-0)= 12 m/s 

De gemiddelde snelheid noemen we ook de gemiddelde verandering van de functie.

gemiddelde verandering

De gemiddelde verandering van een functie f over een interval [a,b] wordt weergeven door :

het differentiequotiënt   :  Δy/Δx

Het is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn AB.

ogenblikkelijke snelheid

De ogenblikkelijke snelheid in een punt kun je benaderen door het differentiequotiënt in een klein interval rond dit punt te berekenen, deze benadering wordt steeds beter als Δx→0 (als B→A).

Dit geeft ook de ogenblikkelijke verandering van de grafiek weer 

 

x	f(x)	Δx	Δf(x)	Δf(x)/Δx
2	4,8
2,1	5,292	0,1	0,492	4,92
2,01	4,84812	0,01	0,04812	4,812
2,001	4,804801	0,001	0,004801	4,8012
2,0001	4,80048	0,0001	0,00048	4,80012

 

 

 

 

 

 De ogenblikkelijke snelheid voor x is 2 is dus gelijk aan 4,8 m/s.

 

x	f(x)	Δx	Δf(x)	Δf(x)/Δx
8	76,8
8,1	78,732	0,1	1,932	19,32
8,01	76,99212	0,01	0,19212	19,212
8,001	76,8192	0,001	0,019201	19,2012
8,0001	76,80192	0,0001	0,00192	19,20012

 

 

 

 

 

De ogenblikkelijke snelheid voor x is 8 is dus gelijk aan 19,2 m/s.

ogenblikkelijke verandering

Om de ogenblikkelijke verandering te berekenen, moeten we in het differentiequotiënt Δx naar 0 laten naderen. De gemiddelde verandering wordt dus een ogenblikkelijke verandering. De snijlijn wordt een raaklijn.

De afgeleide in P(a,f(a)) geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P(a,f(a)) aan de grafiek van f weer.

De afgeleide van een functie f in een punt a is een maat voor de ogenblikkelijke verandering van f voor x=a.

Als de afgeleide f’(a) bestaat, zeggen we dat de functie f afleidbaar is in a.

Hier geven we de formules weer om de afgeleide aan de functie in een punt te berekenen

voorbeeld

Onderstaand voorbeeld geeft weer hoe we deze formule kunnen gebruiken.

Bepaal de afgeleide aan de functie f(x) = x² in het punt A(1,1).

de afgeleide functie

Maar om in elk punt van de functie de afgeleide te berekenen, is er een kortere weg. Vaak is er een verband tussen al deze afgeleiden. Er ontstaat een nieuwe functie. We noemen dit de afgeleide functie.

In het algemeen kan je de afgeleide functie berekenen door de afgeleide te berekenen in het punt P(a, f(a)).

Door dit te doen bij f(x) = x², merk je dat f'(a) = 2a.

Het geogebra bestand geeft de afgeleide van de functie weer in punt A. Punt B geeft het verband tussen deze afgeleiden. 

In het invoerveld kan je een functie ingeven. Punt B zal het spoor volgen van de afgeleide functie. Je moet a bewegen met het schuifbalkje.