logaritme basis

logaritmen : basis

Inleiding :

Een logaritme heeft tot doel machten te kunnen uitrekenen.

2^y = 8 dan weten we dat y = 3 want 2*2*2 = 8

²log(8) = y = 3 want 2³ is 8

2^y = 10 dit kunnen we zo niet berekenen, we weten wel dat y tussen 3 en 4 ligt want 2³ = 8 en 2⁴ = 10

We noemen y een logaritme met grondtal 2

het is de macht waartoe we twee moeten verheffen om 10 te krijgen

Notatie :      ²log(10) = y

Voorbeeld 1 : positieve grondtallen

¹⁰log(100) = 2     want   10² = 100    (tot welke macht moeten we 10 verheffen om 100 te krijgen)

¹⁰log(1000) = 3   want   10³ = 1000  

²log(16) = 4        want   2⁴ = 16        (tot welke macht moeten we 2 verheffen om 16 te krijgen)

³log(27) = 3        want   3³ = 27

⁵log(5) = 1          want   5¹ = 5         (tot welke macht moeten we 5 verheffen om 5 te krijgen)

Opmerking !

¹log(10) = ?  want als we één tot een macht verheffen krijgen we altijd 1

⁰log(12) = ?  want als we nul tot een macht verheffen krijgen we altijd 0

Voorbeeld 2 : negatieve grondtallen

^(-3)log(27) = ? want (-3)³ = - 27 ,

We kunnen sommige logaitmen met negatieve grondtallen niet berekenen. We werken dus alleen met positieve grondtallen !

 Definitie :

^alog(x) = y  als  a^y = x   a is een strikt positief getal, met uitzondering van 1

De vraag die we ons telkens stellen is : tot welke macht moeten we a verheffen om x te krijgen

Opmerking !

Logaritmen met grondtal 10 noemen we Briggse logaritmen.

Notatie : log(100) = 2  (het grondtal 10 noteren we dus niet meer)

Opmerking !

^alog(a) = 1  want a¹ = a

^alog(a^b) = b want a^b = a^b

Besluit :

Nu kunnen we dus al veel logaritmen uit het hoofd berekenen met deze definitie.

Maar er blijven nog logaritmen over die we niet zomaar kunnen vinden.

vb. ³log(16) = ?  (tot welke macht moeten we 3 verheffen om 16 te krijgen)

Deze logaritmen hebben wel een uitkomst. We hebben dus nood aan rekenregels om deze uit te rekenen !