Skip to main content

ontbinden tweedegraadsveelterm

0ntbinden in factoren...

 

Om een veelterm te ontbinden in factoren, kan je verschillende methoden gebruiken.

We bespreken de meest gebruikte methodes en geven enkele voorbeelden.

 

Tweedegraadsveelterm ontbinden

Een tweedegraadsveelterm heeft onderstaande vorm :  V(x) = a x²+ b x + c

 

Als we een veelterm willen ontbinen, kunnen we deze ook eerst oplossen als een vergelijking.

 0= a x²+ b x + c

 

We bepalen dus eerst x1 en x2, de oplossingen van de vergelijking.  Dit kan zowel met de discriminant (abc formule), als met de som en product-methode.

Om vervolgens "a x²+ b x + c"  te ontinden in factoren kunnen we gebruik maken van onderstaande formule :

 

 a x² + b x + c = a (x - x1) (x -x2)

 

We onderscheiden volgende gevallen :

 

Een tweedegraadsvergelijking kan 2 oplossingen hebben , x1 en x2.

 a x² + b x + c = a (x - x1) (x - x2)

Een tweedegraadsvergelijking kan 1 oplossing hebben , x1

 a x² + b x + c = a (x - x1) (x - x1) = a (x - x1)2

Als een tweedegraadsvergelijking geen reële oplosiingen heeft, kan je hem niet verder ontbinden.

 

 Abc-fromule, dicriminantmethode

We proberen onderstaande vergelijking op te lossen. We gaan hievoor een formule afleiden.

 0 = a x² + b x+ c

Om deze abc-formule af te leiden heb je een lange berekening nodig.

 

Het komt eigenlijk hierop neer :

de discriminant D = (b² - 4 ac)

D > 0 ; er zijn twee reële oplossingen 

D = 0 ; er is één oplossing 

x1 = x2 = -b/2a

D < 0 ; er is geen reële oplossing

Voorbeelden :

Bepaal de nulpunten van de functie : y = x² - 5 x + 6 ; a = 1, b = -5, c = 6

D = b² - 4 ac = (-5)² - 4 (1)(6) = 25 - 24 = 1 (>0)

x1= (-(-5)+1)/(2) = 3 ; x2 = (-(-5)-1)/(2) = 2

 

Bepaal de nulpunten van de functie : y = -x² + x - 6 ; a = -1, b = 1, c = -6

D = b² - 4 ac = 1² - 4 (-1)(-6) = 1 - 24 = - 23 (< 0) ; geen reële nulpunten

 

Bepaal de nulpunten van de functie y = x² - 2 x + 1

D = b² - 4 ac = (-2)² - 4 (1)(1) = 0

x1 = x2 = -b/2a = -(-2)/2 = 1

 

Som en productmethode

Er is ook nog een tweede manier om de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking te bepalen. Men noemt dit de som en productmethode.

Als x1 en x2 twee reële oplossingen zijn, dan geldt :

 

x1+ x2 = s =  -b / a 

x1* x2 = p = c / a

Voorbeelden :

Bepaal de nulpunten van de functie : y = x² + 2 x -3 ; a = 1, b = 2, c = -3

s = -b/a = -2/1 = -2 ; p c/a = -3/1 = -3

We zoeken twee getallen waarvan de som -2 is, en het product - 3.

 

x1x2sp
-1-1-21
-20-20
-31-2-3

 Dus x1= -3 en x2 = 1

Uiteraard kan je de nulpunten altijd vinden met de abc-formule (discriminant), maar soms gaat het sneller via de som en het product.

De afleiding van de som- en productmethode wordt hieronder weeregegeven.

 

Substitutiemethode

Soms kan je in een veelterm iets vervangen of substitueren door iets anders (een andere onbekende) en krijg je een veelterm die je gemakkelijk kan ontbinden.

 

Voorbeeld

4 x4 - 5 x² + 1 

 

Als we x² vervangen door t, krijgen we een "gewone" tweedegraadsvergelijking

4 t² - 5 t + 1  ; deze lossen we op met de discriminant : t1 = 1 en t2 = 1/4

4 t² - 5 t + 1 = 4 (t - 1) (t - 1/4) = (t -1) (4t -1)

 

Dus : 4 x4 - 5 x² + 1 = (t -1) (4t -1) = (x² -1) (4 x² -1)

 

Created by ML