Skip to main content

rekenregels

rekenregels afgeleiden

 

Inleiding

Om een afgeleide functie te kunnen bepalen maken we gebruik van de rekenregels van afgeleiden. Het kan natuurlijk ook met de definitie van de afgeleide, maar dat is vaak een omslachtige procedure. We maken wel gebruik van de definitie van de afgeleide om de rekenregels te bewijzen.

 

Basisafgeleiden

De afgeleide functie van de basisfuncties kunnen we grafisch afleiden !

De afgeleide functie van de constante functie is gelijk aan y = 0.

 

f(x) = c  ; f'(x) = 0 men zegt : Dc = 0

 

We kennen de afgeleide functie van y  = x² en y = x. 

D x1 = 1

D x2 = 2 x

In het algemeen geldt :

 

D xn = n x(n-1)

 

Om nu de afgeleide te kunnen berekenen van veeltermfuncties en dergelijke zijn er rekenregels uitgevonden.

 

Somregel

 

Het bewijs van deze regel volgt volgende stappen :

 

 

Voorbeeld :

D (x² + x +1) = D (x²) + D(x) + D1 = 2x + 1 + 0 = 2 x + 1

 

Productregel

 

 

Het bewijs van deze regel wordt hieronder weergegeven.

 

 

Voorbeeld :

D((x)*(x-1)) = x D(x-1) + (x-1) Dx = x * (Dx - D1) + (x-1) * 1 = x *1 + (x-1) = 2x - 1

Er is ook een uitbreiding van deze regel. Als je een functie f(x) vermenigvuldigt met een constante, mag je de constante voor het afgeleide teken plaatsen.

 

Dit is gemakkelijk aan te tonen :

 

D ( c * f(x) ) = c * D(f(x)) + f(x) * Dc = c * D (f(x)) + f(x) * 0 = c D (f(x))

 

Voorbeeld :

D(5 * x³) = 5 D(x³) = 5 (3) * x² = 15 x²

 

Quotiëntregel

 

 

Probeer zelf eens het bewijs van deze regel te geven. Het loopt analoog met het bewijs van de productregel.

 

Kettingregel

De samengestelde functie wordt uitgedrukt als (g o f)(x) te lezen als (g na f).

Hierbij is f de binnenste en g de buitenste functie. Alles heeft te maken met de volgorde van bewerkingen.

De bewerking die je eerst moet uitvoeren om het beeld van een punt te bepalen is de binnenste functie !!!

 

Voorbeeld :

 

h(x) = (2x+1)10 ; f(x) = (2x +1) is de binnenste functie ; g(x) = x10 is de buitenste functie

want: als je h(2) wil berekenen, rekenen we eerst (2*2 + 1) uit , daarna verheffen we dit getal tot de 10e macht

regel :

 

 

Voorbeeld1 :

D((2x+ 1)10) = 10 (2x+1)9 * D(2x+1) = 10 (2x+ 1)9 * 2 = 20 (2x +1)9

 

Voorbeeld 2:

 

Hierbij is g(x)= √x  en f(x)= 2x² + 4x -3

 

 

Created by ML