rekenregels afgeleiden
Inleiding Om een afgeleide functie te kunnen bepalen maken we gebruik van de rekenregels van afgeleiden. Het kan natuurlijk ook met de definitie van de afgeleide, maar dat is vaak een omslachtige procedure. We maken wel gebruik van de definitie van de afgeleide om de rekenregels te bewijzen.
Basisafgeleiden De afgeleide functie van de basisfuncties kunnen we grafisch afleiden ! De afgeleide functie van de constante functie is gelijk aan y = 0.
We kennen de afgeleide functie van y = x² en y = x. D x1 = 1 D x2 = 2 x In het algemeen geldt :
D xn = n x(n-1)
Om nu de afgeleide te kunnen berekenen van veeltermfuncties en dergelijke zijn er rekenregels uitgevonden.
Somregel
Het bewijs van deze regel volgt volgende stappen :
Voorbeeld : D (x² + x +1) = D (x²) + D(x) + D1 = 2x + 1 + 0 = 2 x + 1
Productregel
Het bewijs van deze regel wordt hieronder weergegeven.
Voorbeeld : D((x)*(x-1)) = x D(x-1) + (x-1) Dx = x * (Dx - D1) + (x-1) * 1 = x *1 + (x-1) = 2x - 1 Er is ook een uitbreiding van deze regel. Als je een functie f(x) vermenigvuldigt met een constante, mag je de constante voor het afgeleide teken plaatsen.
Dit is gemakkelijk aan te tonen :
D ( c * f(x) ) = c * D(f(x)) + f(x) * Dc = c * D (f(x)) + f(x) * 0 = c D (f(x))
Voorbeeld : D(5 * x³) = 5 D(x³) = 5 (3) * x² = 15 x²
Quotiëntregel
Probeer zelf eens het bewijs van deze regel te geven. Het loopt analoog met het bewijs van de productregel.
Kettingregel De samengestelde functie wordt uitgedrukt als (g o f)(x) te lezen als (g na f). Hierbij is f de binnenste en g de buitenste functie. Alles heeft te maken met de volgorde van bewerkingen. De bewerking die je eerst moet uitvoeren om het beeld van een punt te bepalen is de binnenste functie !!!Voorbeeld :
h(x) = (2x+1)10 ; f(x) = (2x +1) is de binnenste functie ; g(x) = x10 is de buitenste functie want: als je h(2) wil berekenen, rekenen we eerst (2*2 + 1) uit , daarna verheffen we dit getal tot de 10e macht regel :
Voorbeeld1 : D((2x+ 1)10) = 10 (2x+1)9 * D(2x+1) = 10 (2x+ 1)9 * 2 = 20 (2x +1)9
Voorbeeld 2:
Hierbij is g(x)= √x en f(x)= 2x² + 4x -3
|  |
